schau dir die seiite mal an http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
Damit kann man läsungswege für eigene polynome generieren lassen. Dein Polynom liefert
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Lösen der kubischen Gleichung x³ - 9x² - 54x + 216 = 0
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Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.
Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.
(y + 3)³ - 9(y + 3)² - 54(y + 3) + 216 = 0
Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:
p = s - r²/3 = -81
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 0
y³ - 81y = 0
Aus der Gleichung liest man also ab:
p = -81 q = 0
Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.
Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.
Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.
Im Falle dieser Gleichung ist R = -19683.
Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.
cos(w) = 0 u = 140,29611541307906
y = 9
1
y = -9
2
y = -1,908972381682824e-15
3
Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=-9 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:
x = -6
1
x = 3
2
x = 12
3