Also ich weiß jetzt, was es war. Und schuld war indirekt wirklich die Apple Hotline:
Es lag an dem zweiten Benutzerkonto. Apple hat mir ja vor einiger Zeit gesagt, ich soll ein zweites Benutzerkonto mit Administrator-Rechten einrichten und dort dann das iPhone zurücksetzen bzw. wiederherstellen.
Und das Problem trat eben ca. zu diesem Zeitpunkt auf.
Das Problem dürfte die Benutzerkonten-Steuerung sein - wenn man in der Systemsteuerung die Steuerung der Benutzerkonten auf "nie benachrichtigen" stellt, danach einen Neustart macht und anschließend den PC über iTunes aktiviert, geht es. Danach kann man die Steuerung wieder auf die ursprüngliche Einstellung zurücksetzen.
Hat bei mir das Problem gelöst.