So, um bis auf weiteres mit meinem Linux-Rechner die Erreichbarkeit der beiden Webseiten beim Aufwecken des PCs aus dem Sleep-Mode automatisch zu prüfen, habe ich das in eines der unter /lib/systemd/system-sleep vorhandenen Scripte eingebaut (hier: hdparm).
Hat mich etwas Zeit gekostet, weil man da etwas tricksen muss, da die Internet- bzw. WLAN-Verbindung erst kurz danach aufgebaut wird.
Sehr hilfreich dabei war für mich: https://askubuntu.com/question…-lib-systemd-system-sleep
Wichtiger Hinweis: Ich musste meine Check-Befehle mit dem dort erwähnten "su root -c ...." vorweg machen, weil es sonst zu unerklärlichen Problemen kam,
auch wenn damit gar keine Kommandos aufgerufen werden, die root-Rechte benötigen (ggf. geht es auch mit einem "su irgendeinuser ...", das habe ich aber nicht getestet).
Somit sehe ich jetzt gleich beim "Starten" des Rechners, ob das Problem besteht oder nicht (und nicht erst beim Aufrufen der Webseite im Browser) und habe für zukünftige automatische Tests eine passende Stelle für meine Zwecke gefunden.