Der entscheidende Satz ist dieser: "Zur Vermeidung von Härtefällen kann die Stadt Mülheim an der Ruhr in Einzelfällen auf Antrag die festgesetzte Gebühr ermäßigen oder erlassen."
Dabei wird in der Praxis regelmäßig eine Gebührenerhebung vermieden indem gleich schon ein Fehleinsatz aus der Sache gemacht wird. Es ist also in der Realität kein "Einzelfall auf Antrag", sondern Usus.
§ 15 des Rettungsgesetzes NRW sagt:
"Kosten
(1) Die Träger rettungsdienstlicher Aufgaben haben die Kosten für die ihnen nach diesem Gesetz obliegenden Aufgaben zu tragen. Auch Fehleinsätze können in die Gebührensatzungen als ansatzfähige Kosten aufgenommen werden."
In anderen Bundesländern ist das (sinngemäß) ebenso formuliert.
Nach dem Krieg entschieden tatsächlich die Besatzungsmächte über den Träger des Rettungsdienstes, wobei man aber sehen muss, dass es den eh nur in Großstädten gab. Dort wurde er teilweise in die Hand des Roten Kreuzes gelegt (Rheinland Pfalz, in Bayern das Bayerische Rote Kreuz), in anderen Gegenden der Feuerwehr angegliedert, z. B. in NRW.
Auf dem platten Land gab es keine rettungsdienstliche Versorgung. Dort gründeten sich auf freiwilliger Basis Ortgruppen des Roten Kreuzes, der Malteser, Johanniter oder des ASB. Die haben dann, je nach finanziellen, personellen und zeitlichen Möglichkeiten, geholfen wenn Not am Mann war. Wenn man Pech hatte gab es aber keine Versorgung wenn in dem jeweiligen Landstrich oder zum Unfallzeitpunkt kein Sanitätsdienst greifbar war. Dann wurde halt eben der nächste Hausarzt gerufen und der Patient mit dem Auto abtransportiert.
In meiner Stadt haben die Malteser Anfang der 1970er Jahre im Sommer bei Obstbauern gejobbt und mit Kirschenpflücken den ersten Krankenwagen erarbeitet...
Der stand dann, wenn einer von den Maltesern Zeit hatte, bei dem jeweiligen Helfer vor der Haustür. Das war hier manchmal der Tankstellenpächter und oft der Konditor. Letzterer wurde immer von seinem Nachbarn alarmiert weil er selber kein Telefon hatte. Das waren Zeiten... 
Die ersten Sankas hatten nur eine Trage, Sauerstoff und einen Transportsanitäter; der lud die Verletzten auf und brachte sie mit Martinshorn und Blaulicht ins nächste Krankenhaus. Man nennt diese ersten Sanitäter in der Branche "Spiegelfahrer" weil die nur im Rückspiegel sahen, ob ein Verletzter noch zuckt... Aus dieser Zeit stammt auch noch die Klingel, die bis heute zur DIN-Ausstattung von Rettungswagen gehört: ging es dem Patienten schlechter, hat er den Knopf gedrückt und der Spiegelfahrer drückte mehr auf die Tube... Den Knopf gibt es - sinnloserweise - auch heute noch in jedem Rettungswagen.
Damals fuhren die Rettungsdienste fast nur zu Verkehrsunfällen, es gab nahezu keine internistischen Einsätze (20.000 Verkehrstote in 1970, heute unter 5000).
Na jedenfalls stieg der Bedarf und so haben viele Träger, Städte und Kreise, ihren Rettungsdienst irgendwann offiziell in die Hand der Organisationen gelegt, die sich inzwischen als Ortsgruppen etabliert hatten und wie beschrieben eh schon aktiv waren; gab es eine starke Malteser-Truppe bekamen die den offiziellen Auftrag und fuhren künftig im Auftrag des Trägers offiziellen Rettungsdienst. Nebenan dasselbe mit dem Roten Kreuz, den Johannitern, dem ASB. In den Städten blieb es meistens in der Hand der Feuerwehr und die Hilfsorganisationen ergänzten es.
Heute geht es über Ausschreibungen und mal hat die eine HiOrg die Nase vorne, dann eine andere. Im Krankentransport mischen auch Privatunternehmen mit, aber im hoheitlichen Rettungsdienst nicht.
Man versucht in Erste-Hilfe-Kursen immer und immer wieder den Leuten klar zu machen, dass ihnen keine Kosten oder andere Nachteile entstehen wenn sie in guter Absicht Feuerwehr, Rettungsdienst oder Polizei alarmieren. Es wäre fatal, wenn diese Diskussion hier dazu führt, dass Leute Sorge haben anzurufen weil hängen bleibt "man kann sich nicht sicher sein, dass nachher die Rechnung kommt."
Also bitte keine Scheu haben, man hat niemals Nachteile wenn man in guter Absicht um Hilfe ruft!