Kann man 3 Router in reihe schalten?

Möglich ist das theoretisch schon. Aber ich würde das nicht empfehlen, weil zum einen mit jedem Mal "repeaten" die Bandbreite halbiert wird und zum andern das mit Sicherheit alles andere als stabil läuft.

Wenn möglich würde ich da eher was wie Powerline empfehlen (falls im Gartenhaus Strom liegt)

Was spricht denn gegen Powerline?

Also was genau einzustellen ist, weis ich leider nicht, die meisten Fritzboxen kann man aber als Repeater betreiben, das sollte sich in den Menüs schon finden.

Den letzten Router, also die Fritzbox im Gartenhaus, die muß allerdings wieder als Client betrieben werden, und dann das Signal per LAN weitergeben.

Ich hatte ne Zeitlang den Fritz Repeater zur Erweiterung meines WLAN in Betrieb, und das gab nur Probleme. Wenn irgendwann mal die Verbindung abgerissen ist (obwohl der Repeater eigentlich gut plaziert war) ist teilweise das komplette Netzwerk völlig abgestürzt und nur ein Neustart aller beteiligten Geräte hat geholfen. Da bin ich dann doch recht fix auf Powerline (devolo) umgestiegen, das läuft im Vergleich zu dem Repeater-Schrott super und vor allem im wesentlichen wartungsfrei. Deshalb würde ich von einer konstruktion mit 3 beteiligten WLAN Geräten absolut abraten. Aber testet es aus, vielleicht läufts ja

Ich dachte beim Lesen des Threads zuerst, daß eine solche WLAN-Kette mit lediglich einer Zwischenstation in der Mitte kein Problem darstellen sollte.
Nach kurzem Googlen bin ich darauf gestoßen, daß genau das mit Fritzboxen nicht gehen soll.
siehe z.B. hier

Ich habe mal 2 Vodafone Easyboxen per WDS verbunden und bin naiverweise davon ausgegangen, daß man damit im Prinzip auch eine Kette aufbauen kann. Da die Einstellungen ziemlich symmetrisch wirken (also keine Aufteilung in Master und Slave besteht) kann ich mir vorstellen, daß das mit Easyboxen im Gegensatz zu Fritzboxen auch tatsächlich funktionieren könnte. Ausprobiert habe ich das aber bisher noch nicht. Vielleicht mache ich das irgendwann spaßeshalber mal, wenn ich mir eine dritte Easybox zulege. Die Dinger werden einem bei Ebay ja fast hinterher geworfen.
(Eine gebrauchte Easybox kostet ungefähr soviel, wie ein WLAN USB-Stick, aber braucht keine Treiber, so daß man jedes Betriebssystem verwenden kann, sowie mehrere Rechner gleichzeitig online bringen kann. Die Empfangsleistung ist höher, die elektrische Leistungsaufnahme aber auch.... :D)

Da die Easyboxen aber im WDS-Betrieb inkompatibel zu Fritzboxen sind, ist das für den Threadersteller keine Lösung.

Die einfachste Variante wäre, wenn sich der Laptop im Gartenhaus direkt per WLAN mit dem Router in der Werkstatt verbindet. Wenn der Empfang mit dem eingebauten WLAN-Modul zu schwach sein sollte, könnte man auf einen Stick und USB-Kabel ausweichen.
Oder man verwendet einen passend aufgestellten WLAN-Bridge-Adapter, der WLAN auf LAN umsetzt.
Falls man einen solchen übrigens in der Werkstatt vor die 2. Fritzbox schalten würde, könnte diese wieder als Master fungieren und die 3. Fritzbox im Gartenhaus als Repeater.

Bei wds ist nie sicher, ob verschiedene Hersteller miteinander kompatibel sind. Somit könnte das Aldi-Schnäppchen ggf. ein Reinfall sein, da nicht sicher ist, ob es mit Fritzboxen-wds kompatibel ist. Generell würde ich von mehr als einem Repeater bei wds abraten, da die Überschneidung der Kanäle schnell an physikalische Grenzen stößt.
Im Zweifelsfall könntest Du die Kanäle von Hand festlegen.
Ich würde allerdings auch eher den Vorschlag von Boo82 favorisieren, da die Übertragung bei Direktverbindung deutlich weniger Latenz hat (kürzere Ping-Zeit), was im vorliegenden Fall vermutlich wichtiger als die reine Übertragungsgeschwindigkeit ist.