Ein abgefragtes Gespräch intern an eine andere Nebenstelle weiterzureichen heißt "Verbinden".
Analoge Standardtelefone - also sowas was man an FON1/2/3 einer Fritzbox anschließen kann - können mit CNIP (CLIP mit Buchstaben) nichts anfangen, und auch mit der normalen CLIP können sie nur begrenzt umgehen: Dur rufst die Tochter an FON2 an > erstes Klingeln bei ihr > sie sieht Deine Nummer > sie nimmt an > Du übergibst > an dieser Stelle würde bei einem ISDN- oder Systemtelefon ihr jetzt mitgeteilt werden können, wie die Nummer bzw. falls im Telefonbuch abgelegt der Name des Anrufers ist, bei einem Standard-Analogtelefon kommt jetzt aber NICHTS (bzw. im Display bleibt bei ihr Deine Nummer stehen).
Das ist soweit ein prinzipbedingtes Problem des analogen CLIP. Hättet Ihr an der Fritzbox keine Analogtelefone, sondern am FON S0 ein ISDN-DECT-System oder ISDN-Schnurtelefon, oder (Fritz-)Mobilteile direkt an der Fritzbox angemeldet, würde die Information aus dem Telefonbuch übermittelt werden können.
Ich hatte an meiner 7270 ein Gigaset DX600A, damit ging das dreigleisig: Nummern externer Anrufer übersetzte es per Internet-Telefonbuchabfrage in Namen wenn die Anrufer im öffentlichen Telefonbuch eingetragen waren, und wenn sie im Fritzbox-Telefonbuch standen zeigte es ebenfalls Namen an. Die dritte Möglichkeit war das telefoneigene Telefonbuch.
DECT-Mobilteile mit "analoger" (= a/b) Basis übersetzen meist aus dem eigenen Telefonbuch ihrer Basis, d.h. dann müßte eine zu erkennende Nummer auch nochmal da rein. ISDN-Telefone mit oder ohne Schnur verstehen das Fritz-Telefonbuch auch alphabetisch (baujahrabhängig, mein etwa 1996er Profiset 50 noch nicht).
Also das Umschwenken von Analogtelefonen für FON1/2 auf Mobilteile entweder an der Fritzbox eingebucht oder mit "ISDN"-Basis an FON S0 sollte das Problem am günstigsten beheben. Eine Investition in eine teurere Anlage bei Beibehalt der Endgeräte wäre ein Bemühen in die falsche Richtung.