Yep, IMAP ist die richtige Lösung sobald mehrere Geräte auf die gleichen eMails + Ordner zugreifen sollen. IMAP hält alle diese Daten auf dem eMail-Server (je nach Gerät/eMail-Client werden die eMails auch lokal gecached), sodaß Änderungen von und an alle Geräte gespiegelt werden. Je nach eMail-Client lassen sich auch neue Ordner anlegen, etc. - oder halt per Web-Zugang des eMail-Anbieters (GMail, Yahoo! Mail, GMX, Web.de, Hosted Exchange, Hotmail/live.com, etc.).
Googles GMail bietet die gleiche Funktionalität und hat mehrere Schnittstellen zu (mobilen) Geräten:
- GMail eMail-Client (z.B. bei Android) - für eMails, Kontakte und Kalender
- IMAP IDLE oder POP3 + SMTP - für eMails
- Exchange Active Sync (EAS) - für eMails, Kontakte und Kalender
- CalDAV (lesen+schreiben) und ICS (nur lesen) - für Kalender, inkl. "Unterkalender"
- SyncML - für Kontakte ("Meine Kontakte")
Ein mögliches Setup mit Google GMail könnte z.B. so aussehen:
PC:
- eMails werden im Thunderbird (oder anderen eMail-Programm) mittels IMAP geholt und per SMTP versandt
- der GMail Kalender wird per CalDAV an Lightning (eine Thunderbird-Erweiterung um Kalender + Aufgaben) angebunden
Handy/Tablet/etc.:
- eMails werden per IMAP oder EAS geholt und per SMTP versandt
- die GMail Kontake und der GMail Kalender wird per EAS angebunden
Ideal wäre ein EAS-Plugin für Thunderbird/Lightning ... 
Zu Deiner Frage (Einbindung einer fremden eMail-Adresse in GMail?): yep, wobei es evtl. ratsamer ist die eMails per POP3 vom Fremdaccount abholen zu lassen (statt die eMails vom Fremdaccount zur GMail-Adresse weiterzuleiten). GMail kann Fremd-eMail-Adressen als Absender verwenden: schau mal hier.
hjrauscher