Hi,
beim Einzug in eine neue Wohnung sollte man darauf achten, dass keine "Altlasten" irgendwo stehen. Und wenn doch, dann muss ALLES akribisch in den Mietvertrag aufgenommen werden. Auch die alte Spüle, die vielleicht im Keller steht.
Bei uns war es ein alter Ofen, der seit 30 Jahren auf dem Dachboden stand. Wir hatten ihn nicht im Mietvertrag vermerkt und so mussten wir ihn beim Auszug mitnehmen. Da das Ding sackschwer war, konnten wir es nur mit viel Mühe und Schweiss aus dem Haus schaffen und uns dann auch noch um die Entsorgung kümmern. Im Ofenrohr steckte übrigens eine 30 Jahre alte Zeiung, so dass wir beweisen konnten, dass der Ofen schon lange vor uns da war, hat den Hausverwalter aber nicht interessiert 
Bei den Versicherungen brauchst Du tatsächlich nur eine Privathaftpflicht, die oft von Vermietern verlangt wird. Damit sind alle Schäden gegenüber Dritten (andere Mieter, Nachbarn, Hausbesitzer) abgedeckt, die von Dir oder Deiner Wohnung ausgehen.
Eine Hausratversicherung wird von den netten Herren Kaiser gern empfohlen und oft evrkauft, weil viele ihre erste Möblierung absichern wollen. Damit verdienen Versicherungen eine Mörderkohle. Bei den meisten meiner EX-Kunden (ja, ich hab damit mein Studium finanziert) hat sich diese Versicherung nur für die Gesellschaft gerechnet. Das ist wie ne Teilkasko fürs Auto. Du musst Dir überlegen, ob Deine Einrichtung wirklich so wertvoll ist. Wenn in der ersten Wohnung vieles geschenkt oder von Verwandten geliehen wurde, dann ist der Wert der Möbel oft so gering, dass der Verlust zu verschmerzen ist.
Ich persönlich hab übrigens keine Hausratversicherung...
Lass Dir bei den ganzen Vertretern, die mit Sicherheit auf Dich zukommen werden (erste Wohnung ist ein gefundenes Fressen für die Jungs) nichts einreden oder aufschwatzen. Immer erst das WWW befragen 
Alles gibt es günstiger oder besser, ein Abschluss beim netten Herrn Kaiser hat immer Zeit.
Grüße
babapapa