Eigenwerte und Eigenvektoren :)

Umstellen von GLS erst nach der 10.Klasse?

Da war bei mir ein wenig früher dran....

Greetz

Zitat

Original geschrieben von Lord Arsch
Umstellen von GLS erst nach der 10.Klasse?

Eigenwerte von Matrizen hast du bestimmt nicht vor der 10. Klasse gehört (€dit: habs gecheckt, du meintest das Gleichung umstellen). Eigentlich hört man das erst in der Kollegstufe, wenn man Analytische Geometrie macht - da aber auch nur ausschnittsweise.

Eigenwerte der Matrix A nach folgender Gleichung berechnen:

det( A - λ E ) = 0

E := Einheitsmatrix
det := Determinante der Matrix

Obige Gleichung gibt i.d.R. ein Polynom, daß man nach λ lösen kann. Bei 2x2 oder 3x3 kann man das noch "per Hand" machen, der Grad des Polynoms nicht so groß ist (also 2 oder 3). Je nach Grad des Polynoms (also Größe der Matrix) wird die charakteristische Gleichung dann komplizierter. Gauß-Algorithmus ist bei größeren Matrizen sehr praktisch.

Hat man die Eigenwerte der Matrix bestimmt, so bestimmt man die Eigenvektoren x, indem man folgende Gleichung für alle oben gefundenen λ löst:

( A - λ E ) x = 0

Diese Gleichung führt wg. der Matrix-Vektor Multiplikation zu mehreren Gleichungen (Anzahl der Gleichungen entspricht Zeilenzahl des Vektors bzw. Spaltenzahl der Matrix). Dieses Lineare Gleichungssystem muß man dann halt für x (x1, x2, x3, ... xn) lösen. Ist dieses Gleichungssystem unterbestimmt, setzt man einen Eintrag des Eigenvektors zu einer Variablen (z.B. xn=alpha) und berechnet die anderen Vektoren in Abhängigkeit dieser Variablen (falls erwünscht).

So dürfte es in etwa stimmen. Höhere Mathematik 1 ist bei mir allerdings schon ne Weile her.

Zitat

Original geschrieben von Crazy_G
Bitte um Hilfe! Morgen klopft schon die Klausur an die Tür!

Bisschen spät, um danach zu fragen, oder?

Hab doch schon was dazu geschrieben...

So ganz ohne Beispiel ist das blöd zu erklären... Schreib doch mal die Stelle von der Übungsaufgabe wo du nicht weiterkommst einfach hier mal rein, dann sehen wir mal, ob ma dir helfen kann.

x1 ergibt sich dann logischerweise zu 0.

x3 und x4 kannst du nur in Abhängigkeit von einander bestimmen. Soll heißen: wüßtest du x3, dann kannst du x4 eindeutig bestimmen - genauso andersrum.

Setzt du jetzt x3 (oder x4) zu einer Variable (nennen wir mal Alpha), kannst du x4 (oder x3) in Abhängigkeit von Alpha angeben.

x2 ist beliebig (nennen wir mal beta)

Der Eigenvektor zu Lambda_2 ergibt halt dann folgende Vektorenschar:

x = [ 0 , beta , alpha , alpha/4 ]T

Ein möglicher Eigenvektor zu Lambda_2 wäre also z.B.

x_2 = [0 , 1 , 1 , 1/4 ]T

Also ich hab eben mit Erschrecken festgestellt, daß ich die Klausur nicht bestanden habe
D.h. ich darf mir das ganze Zeug auch nochmal ausführlich zu Gemüte führen.

Yup. Genauso ist es. Andere Regeln dieser Art? Mir fällt da grad nichts ein.

Im 3x3 Raum kann man sich das ganze auch schön vereinfacht geometrisch vorstellen - also die Vektoren als "Pfeile" im Raum.

Ist z.B. x3=0 und x1=x2, dann ist es egal, welche Zahl du für x2 nimmst, der Pfeil wird immer in die gleiche Richtung gehen - und zwar genau in Richtung der Winkelhalbierenden der x1/x2-Ebene (x1, x2, x3 sind die Achsen) - , da x1 direkt davon abhängt - und darum geht es ja letztlich bei Vektoren.

Letztlich mußt du dich halt immer Fragen, wie der Eigenvektor zahlenmäßig aussehen müsste, damit er bei der Multiplikation mit der Matrix (die du vorher für einen bestimmten Eigenwert ausgerechnet hast) den Nullvektor ergibt. Denn nichts anderes versuchst du ja über die Gleichungen herauszufinden.