Was ist ein Mathematischer Beweis?

Brainstorm · 1. November 2002

Die Frage geht an die Mathematiker hier. Ich habe immer wieder gehört, daß es in der Mathematik den sogenannten Beweis gibt.
Wenn ich also etwas ausreche (sagen wir mal 1+1=2) dann ist das zwar richtig gerechnet, aber eben nicht bewiesen, daß es wirklich so ist.
Daher von mir als "Nicht studiertem" wan ist eine Rechnung Mathematisch bewiesen? Reicht dazu die "gegenprobe, die man in der Schule so gern gemacht hat (1+1=2, folglich 2-1=1 rechnung stimmt) oder wie sieht ein Mathematischer Beweis korrekt aus?
Was ist dazu erforderlich?

Danke schonmal.

microlink · 1. November 2002

Beim mathematischen Beweis geht es imo darum, etwas in allgemeiner Form zu belegen. Nicht auf spezielle Zahlen bezogen sondern durch Verwendung von Variablen allgemein gültig.

Ich weiss jetzt nicht, ob man das hier schon als Beweis bezeichnen kann, oder ob es nur eine Umformung ist, aber vom Prinzip sollte es stimmen.

Code

Fallbeispiel: (2·3)² = 2²·3²
   Vermutung: (x·y)² = x²·y²


      Beweis: (x·y)² 
            = (x·y)·(x·y)
            = x·y·x·y
            = x·x·y·y
            = x²·y²

Alles selbstverständlich nur imo

Anja Terchova · 1. November 2002

Imho sind die meisten Beweise zwar mit Variablen, aber Beweise mit Werten gibts es doch aus. Ein Beweis ist es dan, wenn am Ende links und rechts das gleiche steht, oder etwas was gleich ist.

digitalfan · 1. November 2002

Hi!

Anja Terchova:
Meist werden Beweise abermit Variablen geführt. Damit kann man u.U. vermeiden, dass irgendwelche Sonderfälle in dem Beispiel für den Verweis mit drinnen sind. Das ist v.a. in der Geometrie wichtig. Ich denke nur an Sonderfälle wie gleichseitige/-schenklige oder rechtwinklige Dreiecke.

Alles kann man aber auch ned beweisen, sondern muss man einfach glauben. Dazu zählen die sog. Grundsätze der Mathematik. Z.B. 1+1=2

cu
digitalfan

Brainstorm · 1. November 2002

Klingt ja schonmal ganz interresant.
Jetzt muß ich aber noch eine konkrete Frage anhängen. von meinem Daddy ha ich die story gtehört, daß damals bei Ihm in der Schulzeit der Lehrer den Schülern das System des Beweises beibringen wollte. Dabei hat er als Beispiel folgendes versucht:
er wollte Beweisen, daß bei der Rechnung 2+3 dasselbe ergebniß herauskommt wie bei 3+2.

Das dauerte genau 2 Unterrichtsstunden. Danach war der lehrer ganz Stolz und erklährte: "Damit ist bewiesen daß bei 2+3 dasselbe herauskommt wie bei 3+2."
Ein Schüler kommentierte das nur mit: "Das haben wir schon vorher gewusst".

Nachdem was ich bisher hier gelesen habe währe ein solcher Beweis ja gar nicht drin. Oder höchstens in allegmeiner Form (x+y = y+x).
Da es aber darum geht, daß auf beiden Seiten des = dasselbe steht, ist diese eine Zeile ja schon der Beweis in sich.

Oder hab ich jetzt was falsch verstanden.

digitalfan · 1. November 2002

Hi!

Sowas kann man schon beweisen. Man muss aber trotzdem glauben, dass die Summe aus 2 und 3 oder 3 und 2 5 ergibt.
Das kann einem nicht bewiesen werden, sondern wurde einmal festgelegt. Mann hätte die Zahl nach der 4 auch 6,7,8,9 oder E,G,X oder sonstwie nennen können. Im System ist das eben so festgelegt.
Wenn etwas also nciht zu beweisen ist, dann muss man es definieren. Das wurde bei der Entwicklung der Mathematik mit den Zahlen so gemacht.

cu
digitalfan

Aronia · 1. November 2002

Dass 3+2 = 2+3 ist, kann man nicht beweisen. x+y=y+x ist das sogenannte Kommutativgesetz und dies gehört zu den sogenannten Körperaxiomen und die sind halt einfach definiert, sozusagen die Grundannahmen, aus denen man alles andere beweisen kann.

Ich studiere im ersten Semester Physik und wir müssen uns gerade mit diesem ganzen Kram rumschlagen, teilweise ein wenig anstrengend.

Um auf die Anfangsfrage zu antworten:

1+1=2 kann man nicht beweisen, dass wird einfach definiert. Es gibt einige Axiome, die man nicht beweisen kann und die man einfach als gegeben betrachten muss. Dazu gehören die oben erwähnten Körperaxiome und die Anordnungsaxiome (einfach mal bei Google eingeben, der spuckt dazu viel aus). Daraus kann man dann aber alles andere beweisen,
(x*y)^2=x^2*y^2 kann man z.B. auf diese Axiome zurückführen und hat es damit bewiesen.

Martyn · 1. November 2002

Zitat

Original geschrieben von Anja Terchova
Imho sind die meisten Beweise zwar mit Variablen, aber Beweise mit Werten gibts es doch aus.

Stimmt, aber soweit ich weis, ist es bei einem Beweis ausserdem noch erforderlich, das auf jeder der beiden Seiten nur eine Zahl oder eine Variable steht. Wenn es die Variable bzw. Zahl auf beiden Seite die gleich ist, hat man das was man beweisen wollte bewiesen. Wenn es unterschiedlich ist, war es auch ein Beweis, nur hat man dann bewiesen das es nicht so ist. Deswegen ist die Rechnung von microlink kein Beweis sondern nur so einfach eine Rechnung.

Ein Beispiel für einen Beweis wäre: z.B. a³ * a = a² * a²

a³ * a = a² * a²
a * a *a *a = a * a * a * a
a * a³ = a * a³ |:a³
<=> a = a (wahr)

salento · 2. November 2002

q.e.d.

alpha · 2. November 2002

Aber...
Nicht jeder wahre Satz in der Mathematik ist auch beweisbar (Gödel)

Wer sich mal 1 Mio $ verdienen will - bitte sehr

edit:
Und noch ne kleine Denkaufgabe:
Warum ist der Satz "Jede Primzahl ist ungerade" nicht beweisbar?
(Keine Lösungen posten - da soll ruhig jeder selbst drauf kommen ;))

Was ist ein Mathematischer Beweis?

Jetzt mitmachen!

Teilen