Moin, bin aber bestimmt nicht der Erste, der es irgendwie beschreibt :). Ich versuch's mal.
Beispiel: Du möchtest ein GMX-Konto einbinden, geht aber auch mit jedem anderen Provider oder eigenem Server.
1. Empfang der Mails: In der Weboberfläche bei GMX eine Weiterleitung aller E-Mails zur Gmail-Adresse einrichten (je nach Wunsch dabei Kopie bei GMX lassen oder nicht)
Damit kommen ab jetzt alle E-Mails sofort im Gmail-Konto an (daher ist Weiterleitung der alternativen Möglichkeit des POP3-Abrufs durch Gmail vorzuziehen).
2. Falls gewünscht, kann man in Gmail ein Label einrichten für die GMX-Mails und dieses automatisch per Filter zuweisen lassen. Muss man aber nicht.
Die GMX-Werbung kann man einfach mal als Spam markieren, wird danach immer automatisch wegsortiert. 
3. Senden der Mails: Um von der GMX-Adresse aus Gmail heraus Mails zu versenden, muss sie hier in den Einstellungen einmal bei "Senden als" angelegt werden - dabei den Anweisungen folgen:
https://mail.google.com/mail/u/0/?shva=1#settings/accounts
Dabei als SMTP-Server nicht den Gmail-Server auswählen, sondern die zweite Option zum Verwenden des originalen SMTP-Servers.
(Auf diese Weise bekommt der Empfänger keinen anderen "Sender"-Eintrag in der Mail, der evtl. verwirrt. Man muss an dieser Stelle Benutzernamen und Passwort für die Nutzung des originalen SMTP-Servers angeben. Wer das nicht will, muss halt dann doch den Gmail-Server nehmen)
Im Prinzip war's das. Nach Fertigstellung kann man im Browser, in der App oder einem anderen E-Mail-Clienten die Absenderadresse auswählen. Man kann auch bei Gmail einstellen, welches die Standard-Absenderadresse sein soll oder dass man beim Antworten immer diejenige Adresse verwenden will, an die die ursprüngliche Mail kam.
Was man noch zusätzlich machen könnte:
- Bei manchen Providern gibt es Mails, die nicht weitergeleitet werden - bei GMX berispielsweise Infomails über den Inhalt des Spamordners. Insofern kann man zusätzlich (!) noch die "E-Mails per POP3 aus anderen Konten abrufen" für das GMX-Konto einrichten und erhält dann solche Mails auch.
- Liegen auf dem Server des Fremdkontos (z.B. GMX) schon vor der oben beschriebenen Aktion bereits jede Menge Mails, die man auch in Gmail haben will, muss man ebenfalls "E-Mails per POP3 aus anderen Konten abrufen" für das Konto einrichten - dann werden alle dortigen Mails automatisch rübergeholt. Das dauert ein wenig, bei vielen Mails ein paar Stunden warten, bis alle Mails da sind.
Soweit dann mal ... 