Lösung:
Zu meinem bereits beschriebenen Problem mit den E-Mails über meinen GMX Account.
Daß 2 Accounts keine Probleme bereiten sowohl E-Mail senden als auch schreiben.
Bei GMX jedoch (warum auch immer...?) ging das Senden nicht.
Habe nochmals alle Einstellungen kontrolliert.
Unter dem Punkt Menu -> Einstellungen -> Verbindungen -> Verwaltungseinstellungen -> mobile Datenverbindung -> Zugangspunkt, war bei mir nichts eingetragen. Habe nun meinen Provider "t-mobile internet" eingetragen, nun geht es !!!
Warum da nichts stand weiß ich nicht, warum die anderen E-Mails Accounts trotzdem funktioniert haben weiß ich auch nicht. Jetzt geht es aber !
Vielleicht hilft es dem einen oder anderen weiter der ein ähnliches Problem hat !