Rempler in der Waschstraße, wer ist schuld?

Nein, kann man nicht. Hier gilt eben die Besonderheit, dass die KFZ-Versicherung Anspruchsgegner des Geschädigten ist. Zahlt diese, so hat der Versicherungsnehmer mit der ganzen Sache nichts mehr am Hut.

Wenn der Versicherungsnehmer meint, die Versicherung hätte ihre Regulierungsvollmacht pflichtwidrig ausgeführt, so kann dieser NUR gegen die Versicherung klagen, nicht gegen den Dritten!

Wenn ich die Kosten dann also selbst trage (meine Versicherung schickt mir bei Schäden immer einen Brief, wo dann drinn steht, dass ich den Schaden bis zum ... bezahlen kann, dann werde ich nicht hochgestuft), ist das eine reine Sache zwischen mir und der Versicherung und ich kann auch dann nichts rechtlich direkt gegen den Schadensverursacher bewirken?

Ganz genau. Wenn du den Schaden zahlst freut sich die Versicherung, weil sie dann nichts prüfen müssen und sich die Sache erledigt hat.

Wenn du nicht zahlst gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder die Versicherung sieht dich nicht als Verursacher an und zahlt ebenfalls nicht, was natürlich das Risiko nach sich zieht, verklagt zu werden. Oder die Versicherung sieht dich als Verursacher an und zahlt den Schaden. Dies darf sie wie erläutert tun. Wenn du dann höhergestuft wirst bleibt dir nur die Möglichkeit zu behaupten, die Versicherung hätte pflichtwidrig gehandelt (also ihr Ermessen fehlerhaft ausgeübt) und dies evtl. gerichtlich feststellen zu lassen. Solltest du Recht bekommen wirst du natürlich nicht hochgestuft. Der Dritte hat mit all dem jedoch nichts zu tun.