Du gibst dns.adguard.com bei "Hostname des privaten DNS-Anbieters" ein, weil eben das der DNS-Server ist. Wenn dann in deinem Browser noch Webseiten per URL geöffnet werden, hast du schonmal grundlegend nichts falsch gemacht. Auf https://adguard.com/en/adguard-dns/overview.html sollte dir weiterhin bei der Weltkarte angezeigt werden, das du den Server XYZ des Adguard-Netzwerkes benutzt. Wenn das der Fall ist, ist deine Einstellung korrekt.
Man sollte sich darüber im Klaren sein, das Anfragen von diesem Endgerät aus (könnte man beim Router zu Hause auch machen, dann hätten alle Geräte im Netzwerk automatisch diesen DNS-Server als Standard) von deren DNS-Servern aufgelöst werden. Man muss somit großes Vertrauen in diese Firma haben, das sie nicht mutwillig falsche Webseiten ausliefern und brauchbare Sicherheitsmaßnahmen haben um Hacker vom Missbrauch abzuhalten. Ich habe mal in die AGBs geschaut, die Firma hat lt. diesen immerhin Sitz auf Zypern und ist somit in der EU.