Als Ist- bzw Kann-Kaufmann, wenn du also im HR eingetragen bist, muss der Zusatz e.K. geführt werden. Für den schriftlichen Geschäfsverkehr gelten dann auch weitere Voraussetzungen, z.B. § 37a HGB.
Wenn Eintragung im HR, dann kannst du auch einen reinen Phantasienamen führen, aber eben nur mir dem Rechtsformzusatz e.K (bzw. dessen moderneren Abkürzungen e. Kfr. bzw e. Kfm.
Wenn keine Eintragung im HR, also bei einem Kleingewerbe, musst du m.W. immer mindestens einen ausgeschriebenen Vornamen samt Zunamen in der Firmenbezeichnung führen. Das kann dann entweder eine sachliche Beschreibung der Tätigkeit + Vornamen + Nachname sein oder aber auch eine Phantasiebezeichnung + Vorname + Nachname.
Für bestimme Bereiche gibt es da Ausnahmen, wenn du ein Ladenlokal hast, z.B. eine Gasstätte darfst du damit auch ohne Eintragung Bezeichnungen wie "Swingers-Inn" führen.
Kann aber sein, dass sich da in letzter Zeit was geänder hat...