Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat

Original geschrieben von skyrimimi
Ich finde die Frage unpräzise/missverständlich.

Ich auch.
Ich gehe mal davon aus, dass Frank meint "Wie viele Möglichkeiten hat er insgesamt" bis keine Kugel mehr vorhanden ist.
Dabei ist noch zu klären, ob z.B. "ich nehme 5 Kugeln und dann nochmal 5 Kugeln" (5-5) als eine Möglichkeit gezählt wird oder als zwei. Oder aber (2-2-5-1) als eine Möglichkeit oder eben als vier.
Sollten diese jeweils als eine Möglichkeit gezählt werden, dann gibt es insgesamt 512 davon anderenfalls 1023.

Lösung:
Ich löse diese Aufgabe mal von innen auf.
- Bei nur einer Kugel statt 10 Kugeln gibt es nur eine Möglichkeit.
- Bei 2 Kugeln ist eine Möglichkeit alle 2 zu nehmen oder 1 zu nehmen und dann bei Kugel 1 weiter machen. Insgesamt 2 Möglichkeiten.
- Bei 3 Kugeln, erste Möglichkeit 3 zu nehmen, nächste Möglichkeit 2 nehmen und bei einer Kugel weitermachen oder aber 1 nehmen und bei 2 Kugeln weitermachen. Insgesamt 4 Möglichkeiten.
- Bei 4 Kugeln, alle 4 nehmen oder 3 nehmen und bei 1 Kugel weiter machen oder 2 Kugeln nehmen und bei 2 Kugeln weiter machen oder 1 Kugel nehmen und bei 3 Kugeln weiter machen. Insgesamt 8 Möglichkeiten.
- Bei 5 Kugeln ... ... Insgesamt 16 Möglichkeiten
...
Bei 10 Kugeln kommt man so auf insgesamt 512 Möglichkeiten mit 1023 Kugelentnahmen.

Sollten aber Kugeln noch übrig bleiben dürfen, dann ...

Ich verstehe die - schlecht/unklar formulierte - Aufgabe genauso wie hier:

Zitat

Original geschrieben von sailing2capeside
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient ist das Stichwort

(..) , also 1023 Möglichkeiten.

Der Spieler (welches "Spiel" eigentlich :D?) darf einmal zulangen und eine von ihm gewünschte Anzahl von Kugeln nehmen. Da die Kugeln durchnummeriert sind, kommt es wohl auch darauf an es trägt mit zur Unterscheidung der Möglichkeiten bei.

Edit:

Hier mal ein Thread mit echtem Wahrscheinlichkeitsproblem - wer es nicht kennt und grübeln will, liest nur den ersten Beitrag (obwohl auch viele es danach nicht so ganz kapieren ;)) :
http://www.telefon-treff.de/showthread.php?s=&threadid=42157

Nur der Vollständigkeit halber: Die Frage hat nichts mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun (zumindest nicht direkt), das ist (einfache) Kombinatorik (zugegebenermaßen im Zusammenhang mit der Laplace-Annahme manchmal die Grundlage, um Wahrscheinlichkeiten anzugeben).

Der Schlüssel liegt in der exakten Aufgabenstellung. Da die Kugeln nummeriert sind, darf man annehmen, dass z.B. die Wahl "Kugel 1, Kugel 2" eine andere ist als "Kugel 2, Kugel 5".
Falls nicht, dann hätte man in der Tat nur die Möglichkeiten eine bis zehn Kugeln zu nehmen und die Antwort wäre einfach "10".
sailing2capeside hat es mit den Binomialkoeffizienten gelöst, und hat als Summe 1023 bekommen.
Das ist kein Zufall, sondern einfach immer so, dass diese Summe 2^n ( 2 "hoch" 10) ergibt. (Hier 2^n - 1, weil die Auswahl "0 aus 10" fehlt)
Einfacher ist aber doch das Binärsystem. Stellt euch eine Binärfolge der Länge 10 aus Nullen und Einsen vor, eine Eins an der Stelle x heisst dann: "Kugel x wird gewählt".
Also 0100000011 heisst dann Kugel 2, Kugel 9 und Kugel 10 sind gewählt.
Na wieviele Binärwörter der Länge 10 gibt es? Offenbar 2^10. Eins abziehen für die nicht erlaubte Wahl "gar keine Kugel" und wir sind bei 2^10 - 1 = 1023.

Wer einen Beweis will, kann gerne einen basteln. Für n Kugeln am besten gleich. Wir wollen die Wahl "Gar nichts" mal zulassen, eins abziehen schaffen wir auch am Ende. Wieviele Möglichkeiten gibt es da? Nun, Mathematiker führen das einfach auf den Fall von n-1 Kugeln zurück. Nennen wir die Lösung zu jedem n (die wir noch nicht kennen) einfach L(n) ("Lösung n Kugel Problem")
Dann gilt: L(n)= L(n-1) + L(n-1). Warum? Der erste Summand steht für "Erste Kugel gewählt" und dann bleiben noch L(n-1) Möglichkeiten für den Rest. Und der zweite Summand steht für "Erste Kugel nicht gewählt" und dann die L(n-1) Möglichkeiten für den Rest.
Also: L(n) = 2* L(n-1).
Naja, das ist doch genau die Zweierpotenz, immer das Doppelte.
qed

5. Klasse Gymnasium vor Jahrzehnten, als das Abi noch schwerer war.

5. Klasse, klar doch...

Ich würde erstmal wissen wollen, ob die Reihenfolge der Ziffern egal ist, d.h. bei 3 Kugeln ist 6 - 8 - 2 das gleiche wie 2 - 8 - 6. Beim Lotto ist die Ziehungsfolge ja auch egal.

Zitat

Original geschrieben von ThomasK
Wer einen Beweis will, kann gerne einen basteln. Für n Kugeln am besten gleich. Wir wollen die Wahl "Gar nichts" mal zulassen, eins abziehen schaffen wir auch am Ende. Wieviele Möglichkeiten gibt es da? Nun, Mathematiker führen das einfach auf den Fall von n-1 Kugeln zurück. Nennen wir die Lösung zu jedem n (die wir noch nicht kennen) einfach L(n) ("Lösung n Kugel Problem")
Dann gilt: L(n)= L(n-1) + L(n-1). Warum? Der erste Summand steht für "Erste Kugel gewählt" und dann bleiben noch L(n-1) Möglichkeiten für den Rest. Und der zweite Summand steht für "Erste Kugel nicht gewählt" und dann die L(n-1) Möglichkeiten für den Rest.
Also: L(n) = 2* L(n-1).
Naja, das ist doch genau die Zweierpotenz, immer das Doppelte.
qed

5. Klasse Gymnasium vor Jahrzehnten, als das Abi noch schwerer war.

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Vollständige Induktion nur mit Induktionsschritt-, aber ohne Induktionsanfang? Gefährlich
Deine Argumentation ist natürlich richtig, aber ein Beweis ist das ohne die Feststellung, dass es bei einer Kugel nur eine Möglichkeit gibt, nicht.

NurSammy und sailing2capeside haben es aber auch schon richtig erklärt :top:

(Vorausgesetzt natürlich, dass die Aufgabe so gemeint war, wie die meisten hier sie verstanden haben)

Zitat

Original geschrieben von ThomasK

5. Klasse Gymnasium vor Jahrzehnten, als das Abi noch schwerer war.

Ja,und dann nochmal in der Oberstufe vertieft,nur konnten wir in der Abiprüfung noch Mathe auslassen und einfach die 4 Grundkurse einbringen.;)
Dies hat sich dann kurz nach dem Millenium geändert und es wurde zur Pflicht.